Matrice

Rappresentazione di un insieme di vettori si può utilizzare una visualizzaione in tabella. $$ v_0 = (30, 10, 10) \\ v_1 = (20, 20, 5) \\ v_2 = (15, 15 ,10) \\ \begin{bmatrix} 30 & 10 & 10 \\ 20 & 20 & 5 \\ 15 & 15 & 10 \\ \end{bmatrix} $$ Questa rappresentazione in tabella è definita matrice.
Il numero di righe e colonne dipende dall'applicazione ma non esiste un limite predefinito.
$$ \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ Anche la scelta delle parentesi non ha un significato a priori.
Quindi una matrice $A$ con $m$ righe e $n$ colonne avrà il seguente schema $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$ Secondo questa notazione l'elemento di valore 3 della tabella precedente sarà l'elemento $a_{12}$.
Ogni elemento quindi può essere identificato da una riga e una colonna.

Spazio delle righe e delle colonne

Guardando la tabella, guardando le righe, ogni riga è una n-upla. Quindi vedendo ogni riga come un vettore queste generano uno spazio vettoriale in $R^n$.
Allo stesso modo le colonne, vista ognuna come un vettore, generano un'altro spazio vettoriale questa volta sottospazio di $R^m$.
Per esempio data la matrice: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$ Spazio delle righe $$ r_0 = (1, 1, 1) \\ r_1 = (2, 1, 0) \\ \subseteq R^3 $$ Spazio delle colonne $$ c_1 = (1, 2) \\ c_2 = (1, 1) \\ c_3 = (1, 0) \\ \subseteq R^2 $$ Quindi una stessa matrice può dare origini a spazi di righe e colonne molto diversi.

Rango di una matrice

Quando lavoro con una matrice posso identificare la dimensione degli spazi delle righe e degli spazi delle colonne. Questi coincidono e coincidono anche con il rango della matrice stessa. $$ \dim{L(R_1, \dots, R_m)} \\ = \\ \dim{L(C_1, \dots, C_n)} \\ = \\ \text{Rango di }A = \rho(A) $$ Data la matrice; $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} $$ Spazio delle righe $$ R_1 = (1, 2, 1) \\ R_2 = (0 ,1, 3) \\ l.i \Rightarrow \dim{L(R_1, R_2)} = 2 \\ \rho(A) = 2 $$ Spazio delle colonne $$ C_1 = (1, 0) \\ C_2 = (2, 1) \\ C_3 = (1, 3) \\ \dim{L(C_1, C_2, C_3)} = 2 \\ \rho(A) = 2 $$ Questo modo di procedere per quanto semplice non è ottimale man mano che la matrice cresce di dimensioni.
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 5 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ Questa matrice è gia più complessa ma posso notare facilmente che

La prima riga non è nulla
La seconda riga, avendo uno 0 dove la prima ha un 1, non può essere multipla della prima.
Lo stesso vale per la terza riga.

La presenza di 0 in posizioni strategiche permette di capire facilmente quando due vettori sono indipendenti e di conseguenza capire la dimensione dello spazio vettoriale e di conseguenza del campo della matrice.

Matrici ridotte per righe

$$ A = \begin{pmatrix} \diamond & \square & \diamond & \diamond & \diamond \\ \square & 0 & \diamond & \diamond & \diamond \\ 0 & 0 & \square & \diamond & \diamond \\ 0 & 0 & 0 & \diamond & \square \\ 0 & 0 & 0 & \diamond & 0 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{align} \square & = \text{elemento speciale != 0} \\ \diamond & = \text{elemento qualsiasi}\\ 0 & = \text{zero} \end{align} $$

I numeri speciali sono quei numeri sotto i quali, nella stessa colonna, si trovono solo 0.
Una matrice di questi tipo ha un rango pari il numero delle righe non nulle.

Il medesimo ragionamento può essere fatto per le colonne. $$ A = \begin{pmatrix} \diamond & \square & 0 & 0 & 0 \\ \square & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \diamond & \diamond & \square & 0 & 0 \\ \diamond & \diamond & \diamond & \diamond & \diamond \\ \diamond & \diamond & \diamond & \square & 0 \\ \end{pmatrix} \\ $$

Il problema è che raramente le matrici su cui lavorare sono ridotte per righe o per colonne.
Devo cercare quindi un'operazione che mi permette di trovare una matrice $A^1$ ridotta che abbia lo stesso rango della matrice di origine.
Mi servno delle operazioni che conservano il rango della matrice.

Trasformazione elementare (sulle righe)

Moltiplicazione di una riga Posso moltiplicare tutti i valori di una riga per un valore $a \neq 0$ e il rango della matrice non cambia.
Scambiare di posto le righe Posso scambare di posto la riga $R_i$ e la righa $R_j$ con $i \neq j$ e il rango della matrica non cambia
Somma al multiplo Posso prendere una riga $R_i$ e una riga $R_j$ con $i \neq j$.
Quindi sostituire la riga $R_i$ con una nuova riga alla quale sommo a ogni valore di $R_i$ i valori di $R_j$ moltiplicati per un $a \neq 0$.
Anche in questo caso il rango non cambia

Esempio delle operazioni

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow R_2 - 1R_1 \\ \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow R_3 + R_1 \\ \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow R_3 - 4R_2 \\ \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \text{ Matrice ridotta per righe } \rho(a) = 3 $$

Tutto questo vale anche per le colonne.

Applicazione agli spazi vettoriali

Creando una matrice che ha come righe i generatori di uno spazio vettoriale e calcolando il rango della matrice in realtà sto calcolando la dimensione dello spazio vettoriale dato dai generatori utilizzati.
Dato uno spazio vettoriale generato da: $$ R_0 = (1, 1, 2, 1) \\ R_1 = (2, 1, 0, 3) \\ R_3 = (4, 4, 1, 0) \\ $$ Genero la matrice: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 4 & 4 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ Tramite le trasformazioni elementari la riduco $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 4 & 4 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ \downarrow \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 7 & 7 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\ \downarrow \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ -7 & 0 & 0 & -22 \\ \end{pmatrix} \\ $$ Matrice di rango 3, quindi lo spazio vettoriale è di dimensione 3